On soluble groups of finite rank with finitely many automorphism orbits

Abstract

Seja G um grupo. As órbitas da ação natural de Aut(G) em G são chamadas de "órbitas por automorfismos" de G, e o número de órbitas por automorfismos de G é denotado por ω(G). Se G é um grupo solúvel de posto finito com número finito de órbitas por automorfismos, então G possui um subgrupo característico nilpotente radicável e livre de torção K tal que G = K ⋊H, onde H é um subgrupo finito (ver [4]). Provamos um teorema estrutural para grupos solúveis de posto finito com ω(G) = 4 e ω(G) = 5. Além disso, a decomposição G = K ⋊H nos levou a investigar grupos nilpotentes radicáveis e livres de torção. Neste contexto, provamos que o grupo das matrizes unitriangulares de dimensão n sobre o corpo dos números racionais Q possui infinitas órbitas por automorfismos quando n > 5, e um número finito de órbitas quando n ≤ 5. Estes últimos resultados foram obtidos com o auxílio de métodos computacionais.