Mixed finite element methods for steady granular flows : numerical analysis and applications

Abstract

Propomos e analisamos um novo método de elementos finitos mistos para um modelo regularizado de reologia µ(I) de escoamentos granulares, com viscosidade equivalente dependendo não linearmente da pressão e do tensor taxa de deformação. Para isso, além da velocidade, da pressão e da taxa de deformação, introduzimos um tensor de tensão modificado e a vorticidade como incógnitas auxiliares, obtendo uma formulação variacional mista no contexto de espaços de Banach. A pressão é calculada através de um pós-processamento sugerido pela condição de incompressibilidade do fluido. Uma estratégia de ponto fixo, combinada com um resultado de solubilidade para uma classe de equações de operadores não lineares de ponto de sela duplo em espaços de Banach, é empregada para demonstrar a boa colocação das formulações contínua e discreta. Em particular, os elementos PEERS e AFW de ordem ℓ ≥ 0 para tensão, velocidade e vorticidade antissimétrica, e polinômios por partes de grau ≤ ℓ + n (resp. ≤ ℓ + 1) para a taxa de deformação com PEERS (resp. AFW), produzem esquemas de Galerkin estáveis. Estimativas de erro a priori ótimas e taxas de convergência associadas são estabelecidas, com resultados numéricos confirmando sua validade e ilustrando o bom desempenho dos métodos. Adicionalmente, desenvolvemos o primeiro estimador de erro residual a posteriori confiável e eficiente para o esquema de elementos finitos mistos associado, em 2D e 3D. Para a análise de confiabilidade, utilizamos a derivada de Gâteaux de primeira ordem do operador global do problema, uma decomposição de Helmholtz estável em espaços de Banach e propriedades de aproximação local dos interpolantes de Raviart-Thomas e Clément. Por sua vez, a técnica de localização baseada em funções bubble em espaços L p locais e resultados de trabalhos anteriores são as principais ferramentas para a estimativa de eficiência. Exemplos numéricos ilustram o desempenho dos algoritmos adaptativos associados.