Um convite à teoria modular : entropia e progressos recentes

Abstract

Este trabalho apresenta algumas propriedades analíticas do operador Hamiltoniano modular, com base em avanços recentes na área. Nos últimos anos, contribuições significativas foram feitas, e este trabalho procura fornecer uma visão geral dos resultados e aplicações mais notáveis da teoria modular. Dada a falta de uma interpretação geométrica para o fluxo modular no caso massivo, é natural concentrar-se na derivação de suas propriedades analíticas. Seguindo uma abordagem numérica recente, encontramos que a primeira derivada do Hamiltoniano modular em relação à massa é divergente. Para lidar com essa nãodiferenciabilidade, investigamos a estrutura analítica do núcleo de um operador relevante. Este núcleo também está relacionado à parte não-diagonal da transformação de Bogoliubov que conecta duas representações com massas diferentes. As propriedades analíticas dessas transformações de Bogoliubov são exploradas utilizando transformações de Mellin e funções G de Meijer. No entanto, encontramos que a primeira derivada dos coeficientes de Bogoliubov em relação à massa se comporta de forma bem comportada. Como o núcleo do operador estudado deslocaliza os campos, ele aparece naturalmente em conjunto com projetores. Concluímos que a divergência da primeira derivada do Hamiltoniano modular está enraizada em considerações mais profundas da análise funcional. Esta afirmação sugere uma investigação futura sobre as propriedades desses projetores.