Análise da relação entre os expoentes de Lyapunov e os modos de Goldstone em um sistema autogravitante bidimensional

Abstract

No âmbito do estudo de sistemas de longo alcance, duas das propriedades que mais são estudadas para entender a complexidade de um sistema desse tipo são os expoentes de Lyapunov, que quantificam a caoticidade, e modos de Goldstone que indicam quebras de simetrias espontâneas. Sendo assim, neste trabalho investiga-se a dinâmica de um sistema autogravitante bidimensional, que é reconhecidamente caótico, composto inicialmente por um anel de partículas. O objetivo principal é encontrar uma relação entre a periodicidade dos modos de Goldstone formados e estabelecer uma relação matemática entre esses modos e os expoentes de Lyapunov. Para alcançar esse propósito, utilizamos uma rotina computacional eficiente criada pelo grupo de física computacional da Universidade de Brasília, desenvolvida em CUDA, permitindo a simulação de um grande número de partículas com alto desempenho computacional. A evolução temporal do sistema foi conduzida através de um método simplético, garantindo a conservação das propriedades hamiltonianas. Para o cálculo dos expoentes de Lyapunov, empregamos o método do mapa tangente, que possibilita a análise da sensibilidade a condições iniciais e a quantificação do caos no sistema. Os resultados obtidos revelaram que a evolução dos expoentes de Lyapunov em relação ao número de partículas desvia-se do comportamento observado em outros sistemas de longo alcance. Diferentemente da tendência típica de redução do caos com o aumento de partículas, observamos um comportamento anômalo, sugerindo que a dinâmica caótica persiste ou até mesmo se intensifica. Além disso, identificamos que os modos de Goldstone permanecem presentes no sistema por períodos extremamente longos, indicando uma persistência dessas excitações de baixa energia e uma possível relação com a estabilidade estrutural do sistema. Na conclusão, discutimos possíveis causas para o comportamento anômalo dos expoentes de Lyapunov, considerando a influência da dimensionalidade bidimensional e das simetrias contínuas presentes no sistema autogravitante. Propusemos uma relação matemática inicial que conecta o período de oscilação dos modos de Goldstone com a evolução dos expoentes de Lyapunov em função do número de partículas. Esses achados contribuem para uma compreensão mais profunda da interação entre caos e modos coletivos em sistemas com interações gravitacionais de longo alcance, abrindo caminho para futuras investigações teóricas e computacionais nessa área.