Uma classe de equações diferenciais do tipo Ut=Uxxxxx + G(U, ..., Uxxxx) que descrevem superfícies pseudo-esféricas

Abstract

Consideramos equações diferenciais tipo ut = uxxxxx + G(u, ux, . . . , uxxxx) que descrevem superfícies pseudo-esféricas, com 1-formas associadas wi = fi1dx + fi2dt, 1 ≤ i ≤ 3. Caracterizamos todas as equações deste tipo cujas 1-formas associadas satisfazem fp1 = μpf11+np, μp, np ∈ R, 2 ≤ p ≤ 3. Determinamos quais destas equações são independentes de qualquer dos parâmetros reais μp, np. No caso genérico tal estudo de independência de parâmetro está completo, e também obtemos como casos particulares três importantes equações de evolução não-lineares de quinta ordem. No caso não-genérico, descrevemos muitas classes, mas o estudo de independência de parâmetro permanece incompleto. Determinamos vastas classes de equações e seus respectivos problemas lineares, nos quais casos particulares são obtidos simplesmente especificando certas funções de u e suas derivadas com respeito a x. ___________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

We consider differential equations of type ut = uxxxxx +G(u, ux, . . . , uxxxx) which describe pseudo-spherical surfaces, with associated 1-forms wi = fi1dx + fi2dt, 1 ≤ i ≤ 3. We characterize all such equations whose associated 1-forms satisfy fp1 = μpf11+np, μp, np ∈ R, 2 ≤ p ≤ 3. We determine which of these equations are independent of any of the real parameters μp, np. In the generic case this parameter independence study is complete, and we also obtain as particular cases three important fifth-order nonlinear evolution equations. In the nongeneric case we describe many classes, but the parameter independence study is yet to be completed. We determine huge classes of equations and their respective linear problems, in which particular cases are obtained by merely specifying certain functions of u and its derivatives with respect to x.