On Ribaucour transformations and applications to linear Weingarten surfaces

Abstract

We present a revised definition of a Ribaucour transformation for submanifolds of space forms, with flat normal bundle, motivated by the classical definition and by more recent extensions. The new definition provides a precise treatment of the geometric aspect of such transformations preserving lines of curvature and it can be applied to submanifolds whose principal curvatures have multiplicity bigger than one. Ribaucour transformations are applied as a method of obtaining linear Weingarten surfaces contained in Euclidean space, from a given such surface. Examples are included for minimal surfaces, constant mean curvature and linear Weingarten surfaces. The examples show the existence of complete hyperbolic linear Weingarten surfaces in Euclidean space.

Apresentamos uma definição de tranformação de Ribaucour revisada, para subvariedades de formas espaciais com fibrado normal plano, motivados pela definição clássica e pelas extensões mais recentes. A nova definição fornece um tratamento preciso do aspecto geométrico de tais transformações preservarem linhas de curvatura e pode ser aplicada a subvariedades cujas curvaturas principais têm multiplicidade maior que um. Transformações de Ribaucour são aplicadas como um método para obtenção de superfícies de Weingarten lineares, contidas no espaço Euclideano, a partir de uma dada superfície deste tipo. Exemplos são incluidos para superfícies mínimas, superfícies de curvatura média constante e superfícies linear Weingarten. Os exemplos mostram a existência de superfícies linear Weingarten, hiperbólicas, completas no espaço Euclideano.